Fondamenti della meccanica atomica
Ad ogni o. l. corrisponde così una matrice, che lo individua perfettamente, e che si indica generalmente con lo stesso simbolo dell'operatore: spesso
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Poichè a ogni o. l. corrisponde (fissato il sistema di riferimento) una matrice, e viceversa, è evidente che dalle operazioni di somma, differenza
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e quindi la matrice che rappresenta l'identità è
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Questa si chiama matrice unità e si indica con 1 }.
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Osservazione. - Nel caso generale di p variabili, ogni elemento della matrice dovrà essere scritto, per quanto si è detto al § 2, nella forma : si
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Dalla (23) risulta subito che la matrice somma, così definita, è effettivamente la matrice corrispondente all'operatore .
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La moltiplicazione di una matrice per una costante k si esegue moltiplicando ogni elemento della matrice per k: anche questo risulta immediatamente
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e calcoliamo mediante la (23) l'elemento generico della matrice prodotto :
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Si verifica subito, applicando la regola precedente alla matrice unità (25) e a un'altra matrice qualunque, che
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Conviene considerare le come gli elementi di una matrice : diremo allora che dalle componenti di un vettore rispetto agli assi y si passa alle sue
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la quale, confrontata con la (35), mostra che si passa dalle f alle f" mediante la matrice nel modo stesso con cui la matrice fa passare dalle f alle
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Supponiamo che, dopo essere passati dal riferimento y al riferimento mediante la matrice , si passi ad un terzo riferimento (completo e ortogonale
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Similmente si proverebbe che : quindi la matrice è l'inversa della :
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Si è visto che un operatore , fissato un sistema, di assi (individuati dai versori nello spazio hilbertiano, è rappresentato da una matrice i cui
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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Ma, per la regola di moltiplicazione, questo non è che l'elemento (m, n) della matrice , ossia, per la (38), : quindi scriveremo
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Si osservi che se è una matrice hermitiana, è tale anche la matrice che corrisponde ad essa in un qualsiasi altro sistema di riferimento: ciò si può
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risulteranno reali). Con la notazione spiegata al § 7, la (46') si può scrivere: . Una matrice siffatta dicesi hermitiana. È ovvio che, viceversa, una matrice
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Una matrice, come questa, in cui tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale principale (elementi diagonali) dicesi matrice diagonale
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Sia ora dato un o. l. mediante la matrice che lo rappresenta rispetto ad assi generici : vogliamo trovare la matrice (diagonale) che rappresenta
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Assumiamo gli assi principali di (di versori ) come assi coordinati nello spazio hilbertiano, e ricerchiamo la forma che assume la matrice che
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Vale a dire, la matrice sarà
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L'elemento generico della matrice sarà, conformemente alla (23),
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Si osservi che se l'operatore è hermitiano tale è anche la matrice, il che per una matrice diagonale significa che i suoi elementi sono reali. Dunque
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Una matrice continua si dirà hermitiana se
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(a, b), diventerà un' ordinaria funzione di due variabili che si potrà anche scrivere, invece che , nel modo usuale . Quindi il concetto di «matrice
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A queste matrici continue si estendono tutte le definizioni già date: p. es. il prodotto di due matrici è la matrice
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In questo cambiamento di assi, la matrice A(k, j) che rappresenta un operatore rispetto agli assi , si cambia nella matrice che rappresenta lo stesso
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Per passare da un sistema di assi a un altro sistema si dovrà introdurre una «matrice di trasformazione» (continua) definita da (v. (33))
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Fissato lo «schema», ad ogni osservabile A corrisponde una matrice hermitiana
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Ricordiamo dal § 12 che, in particolare, la matrice che nello schema K rappresenta l'osservabile K, cioè la stessa che serve a definire lo schema, è
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e ciò in qualunque schema di riferimento. In particolare, nello schema G, varrà questa stessa relazione, con in più la condizione che la matrice sia
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ed inoltre che la matrice
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Applicando poi alla matrice le regole di permutazione (151) e (152) si trova
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Da queste formule, mediante la (158), o la (158'), si ricavano le espressioni degli elementi non nulli della matrice , che risultano
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normalizzazione delle e indicando, al solito, con gli elementi della matrice che rappresenta l'operatore nello schema , (matrice di perturbazione), cioè
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Nel caso attuale, essendo la matrice quasi diagonale, la matrice di trasformazione che la rende diagonale sarà poco diversa dalla matrice unità
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L'operatore hamiltoniano perturbato sarà invece rappresentato rispetto agli stessi assi da un, matrice non diagonale (in cui però gli elementi non
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rappresentano gli elementi della «matrice di perturbazione», e si possono anche scrivere, in virtù della (219),
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gli elementi della matrice di perturbazione risulteranno (v. form. 224 e 225):
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ossia, nello schema , dalla matrice
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dove, estendendo in modo ovvio la notazione del prodotto interno, si è indicato col simbolo H l'operatore (o matrice)
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La densità di probabilità P è data dalla (257), che, introducendo la matrice e inoltre la matrice a una riga e N colonne
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dove designa la matrice unità ad N righe ed N colonne. Introducendo, invece di , la matrice definita da
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lasciando i coefficienti per ora indeterminati: più brevemente scriveremo, indicando con S la matrice i cui elementi sono
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Questa equazione sarà soddisfatta se la matrice S è tale che sia
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Dimostrata così l'esistenza della matrice S per una trasformazione infinitesima ne segue subito (poichè le trasformazioni di Lorentz, come è noto
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formula che si può trasformare, osservando che dalla (318) si ha (introducendo la matrice definita, come al solito, da :
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Infatti, la matrice S così definita ha la proprietà seguente :
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e gli elementi della matrice di perturbazione sono dati da
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